薬作り職人のブログ

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円の面積の公式を求めてみる。 はてなブックマーク - 円の面積の公式を求めてみる。

NHKのニュースで、「円の面積の公式は、どうして半径x半径x円周率なんだろう」なんて話題をやってました。全国の小中学生を対象にした「全国学力調査」で、円の面積の公式の誤答が多かったのが、この話題のきっかけ。

公式というのは「丸覚えするからこそ公式」のような感じがします。確かに、問題を素早く解くためには公式を覚える事が必要ですし、公式を使って瞬間的に答えが出ると気持ちがよかったりもします。

しかし、その公式がどうして導かれたのか、その公式はどういう意味を持っているのか、を考えて、それが理解できた時のすっきり感は、これはまた気持ちいいものです。

というわけで、今日は「円の面積=半径x半径x円周率」の意味をちと考えてみます。

下の図のように、円の中に正多角形(この例では正12角形)を作り、円の中心から各頂点に直線を引いて、同じ形の三角形(この例では12個の三角形)に分割します。これら三角形の面積の和を求めてみます。

20100730.jpg

おもいっきり大雑把に考えると、一つ一つの三角形の高さは、大体円の半径と同じとみなすことが出来ます(正多角形の頂点の数が増え、三角形が細長くなると実感できると思います)。同様に、三角形の底辺の長さ(すなわち正多角形の一辺の長さ)は、三角形の2辺でできる扇形の弧の長さと大体同じとみなすことが出来ます。

すると、正多角形の面積は、

正多角形の辺の数x三角形の底辺x三角形の高さ÷2
=正多角形の周の長さx半径÷2

で表されることになります。

さて、この円の中の正多角形を正24角形、正48角形、正96角形、、、のようにして、どんどん頂点の数を多くしていきます。すると、正多角形の形はどんどん円に近づいていき、しだいに円と見分けがつかないくらいの形になっていきます。

すると、正多角形の周の長さは円の周の長さと同じ、正多角形の面積は円の面積と同じとみなせます。

正多角形の周の長さ=円の周の長さ=2x半径x円周率

なので、

正多角形の面積
=正多角形の辺の数x三角形の底辺x三角形の高さ÷2
=正多角形の周の長さx半径÷2
=2x半径x円周率x半径÷2
=半径x円周率x半径

円の面積の公式の出来上がりです。

考察の過程での、大雑把な見積もり(大体等しいという感覚)と大胆な過程(どんどん円に近づける)の組み合わせが、なんだかとっても気持ちが良い感覚です。

仕事でも、荒っぽい試算で大体の目星をつけ、大事なところで大胆な手段をとると、すっきりと結果が出ることが多かったりするもの。結果は大事ですが、その結果を得るまでの方法論というのも負けず劣らず大事、ということかな、と思います。



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[ 2010/07/30 23:09 ] ひとりごと | TB(-) | CM(-)
 

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プロフィール

薬作り職人

Author:薬作り職人
十数年、新薬の研究に携わる研究者(薬理系)でした。2012年4月から、企画職として、新薬のアイデア作りなどの仕事に取り組むことになりました。

薬学生向けの季刊誌MILで、「名前で親しむ薬の世界」「薬作り職人の新薬開発日記」って言うコラムを連載してました。

観光地で売ってるミニ提灯集めてます。妻子持ち(2児の父)、嫁さんからぐうたら亭主と呼ばれます。


薬&提灯 詳しくは
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